Diversão :D: Potenciação e Função Exponencial

Oiie !
Antes de aprendermos logaritmos precisamos aprender função exponencial. E antes de aprender exponencial, vamos dar uma revisada em potenciação...

Potenciação

*Produtos de potência de mesma base

-Você soma os expoentes e mantém a base

Ex.: 2¹. 2²= 2³

*Divisão de potências de mesma base

-Mantém a base e subtrai os expoentes

Ex.: 2³ ÷ 2²= 2¹(lembrando que o expoente 1 não precisa aparecer)

*Potência de potência

-Multiplica as potencias

Ex.: (5²)³= 2.3=6

*Expoente negativo

-Inverte a base e tira o sinal negativo

Ex.: a-²= (1/a)²

*Potência de expoente fracionário

-Nesse caso, sua potenciação vai virar uma raiz. O denominador (o numero de baixo) indica o tipo de raiz (quadrada, cúbica, etc.) e o numerador (o numero de cima) vai elevar o numero dentro da raiz

Ex.: 4²/³= ³√4²

*Potência de produto

Ex.: (4. 5)³=4³. 4³

*Potência de divisão

Ex.: (m/n)³= m³/n³

*Expoente 0

a°= 1, desde que a seja diferente de 0

Função exponencial

Agora que já relembramos os conceitos de potenciação, vamos finalmente aprender função exponencial.

Função exponencial é aquela na qual a variável independente é o expoente de uma potência. Ou seja, a variável dependente é definida em função de uma potencia. De modo geral temos f(x)=m.ax(a elevado a x). Não entendeu? Deixe-me explicar melhor:

-f(x) é a variável dependente;

-x é o expoente e a variável independente;

-m é um número real qualquer

-a é um número real maior que zero e diferente de 1

Dentro da função exponencial, temos as funções crescentes e as decrescentes:

-Funções crescentes

-A potência tem como base um valor maior que 1

Ex.: f(x) =m.2x(2 elevado a x)

-Funções decrescentes

-A base da potência é menor que 1 e maior que 0

Ex.: f(x) =m.(1/2)x

Lembre-se: Colocar parênteses é fundamental quando você está elevando uma fração a um número qualquer. (1/2)²=1/4 que é diferente de 1²/2=1/2

Exercício resolvido

(PUC-MG 2004) Uma população de bactérias começa com 100 indivíduos e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função a seguir:

n(t) =100.2t/³ (dois elevado a t sobre 3)

Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51200 bactérias depois de:

a)1 dia e 3 horas b)1 dia e 9 horas c)1 dia e 14 horas d)1 dia e 19 horas

Resolução

Repare que o expoente é uma fração: indica o numero de horas t dividido pelo numero de horas que as bactérias se levam para se duplicar (no caso três, o denominador).

Temos que, em determinado instante t, o numero de bactérias n(t) =51200. Basta, portanto, substituir esse valor na função dada no enunciado:

51200=100.2t/³(dois elevado a t sobre 3)

Vamos simplificar os dois lados por 100. Assim teremos:

512=2t/³ (dois elevado a t sobre 3)

Com um raciocínio breve, nos podemos perceber que 512 é igual a 2 elevado a 9. Então, 2 elevado a 9 é igual a 2t/³(dois elevado a t sobre 3).

Obs.: Se você fatorar o 512 encontrará a mesma resposta, 2 elevado a 9.

Como vimos na revisão de potência, duas potencias só são iguais se seus expoentes também forem iguais. Concluímos então que:

9= t/3

Passando o 3 para o outro lado:

9.3=t

t=27

O que encontramos ai são as horas que as 100 bactérias necessitam para se dividirem até o total de 51200. 27 horas são 24 horas e mais 3, o que significa 1 dia e 3 horas. Então a resposta correta é a letra a.

(Resumo feito por :Emily Monteiro)

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